何で直ったのかわかりませんが、とりあえず直った話です。
状況
JetBrains Riderでプロジェクトを開発中、Visual Studio InstallerからVisual Studio 2019のアップデートを行ったところ、Visual Studio Installerから「MSBuildがなんたらという」メッセージが出てきたためOKを押しました。
その後、Riderでも「MSBuildがなんたらという」メッセージが出た上でビルド/実行ができなくなったため、Visual Studioのアップデート終了を待ってRiderを再起動しました。
すると、再起動後も、プログラムを実行しようとした際に「Cannot run project of type Unloaded using any of available configuration types.」と出てしまい、プロジェクトをビルド/実行できなくなってしまいました。
解決(?)方法
Edit ConfigurationsのBuild Project -> Show this pageにチェックをつけてOKしたところビルドできるようになりました。
一度ビルドが通ったあとはチェックを外しても問題なくビルドできるようになりました。
補足
この操作そのものには恐らく意味は無いと思いますが、副作用が噛み合った結果上手くいったようです。
この操作の前に以下のページを参考にMS Build versionなどを弄り回していましたが、効果がなく操作前の状態に戻していました。
rider-support.jetbrains.com